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Curvas de persecución

El otro día en el instituto, Pablo, el profesor de dibujo me planteó como se podría hacer el siguiente dibujo :

Rápidamente me vino a la cabeza el curso de ecuaciones diferenciales de Miguel de Guzmán y las curvas de persecución, un clásico. Desempolvé mis apuntes y me puse a recordar :

Por aquella época no existía Geogebra y el problema se resolvía mediante una ecuación diferencial más o menos simple.

Imaginemos la siguiente situación : Un perro que persigue a una liebre, ambos están separados por distancia d justo antes de que la liebre se ponga a correr.


La liebre comienza a correr por el eje y a velocidad constante v_l, en ese momento el perro también comienza correr hacia la liebre a velocidad constante v_p. El perro nunca pierde de vista a la liebre.

De esta forma en el momento t=k, la situación es la siguiente :


Nuestro objetivo es calcular las coordenadas del punto Perro(x_p,y_p).

Observando el dibujo anterior, vemos que :

y_l= v_l \cdot t \ y \ x_l=0

x_p= d- v_p \cdot t \cdot cos (\alpha) \ y \ y_p= v_p \cdot t \cdot sen(\alpha)

Pero por otro lado tenemos que tan(\alpha)= \dfrac{y_l - y_p}{x_p}. Sustituyendo obtenemos que :

 tan(\alpha)= \dfrac{v_l \cdot - v_p \cdot t \cdot sen(\alpha)}{d - v_l \cdot cos (\alpha)}

Simplificando obtenemos :  tan(\alpha)= \dfrac{v_l \cdot t}{d}

Y de ahí deducimos que :

 sen(\alpha)= \dfrac{v_l  \cdot t}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}}

cos(\alpha)= \dfrac{d}{\sqrt{d^2+ (v_l  \cdot t)^2}}


Y ya solo nos queda sustituir en las ecuaciones del principio :

 \begin{array}{ll} x_pl(t)= d \left( 1 - \dfrac{v_l \cdot t}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}} \right) \\ y_p(t)= \dfrac{ v_l \cdot v_p \cdot t^2}{ \sqrt{d^2 + (v_l \cdot t)^2}} \end{array}

Podemos observar el ejemplo :


Animado con los recuerdos de las clases de ecuaciones diferenciales me animé a plantear el problema de las hormigas.

¿Qué camino dibujarán 4 hormigas que inicialmente están paradas sobre los 4 vértices de un cuadrado, y cada hormiga persigue a la que está en el vértice siguiente ?


Después del algún rato salió el siguiente ejemplo :


Haz tu diseño y envíanoslo.

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