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Presentación

Con antelación al Día escolar la FESPM propone un tema sobre el que poder centrar las actividades de la jornada. Siempre se busca establecer relaciones entre las matemáticas y otra materia o área del conocimiento, para mostrar así la presencia ubicua de nuestra disciplina. Por ejemplo, en la primera edición se propuso construir un omnipoliedro (la conocida construcción de un octaedro inscrito dentro de un tetraedro inscrito a su vez dentro de un cubo, el cual se inscribe en un dodecaedro inscrito en un icosaedro). La misma construcción la describió con detalle Pedro Puig Adam en su obra Didáctica de la Matemática Moderna y la materializó en el patio del instituto San Isidro. La intención era clara : un trabajo de tecnología donde es imprescindible no sólo resolver cuestiones tecnológicas (¿qué materiales usamos ? ¿cómo lo armamos ?) sino también realizar cálculos matemáticos precisos (¿qué longitud deben tener las aristas de los distintos sólidos ?), aunque estas últimas sean tan simples como el uso del teorema de Pitágoras.

En la segunda edición en 2001 se instauró otra pequeña tradición relacionada con el Día escolar : la publicación de un cuadernillo con propuestas de actividades. Este cuadernillo se distribuye a todos los socios de la FESPM mediante un encarte en la revista Suma. En esta ocasión se quiso relacionar matemáticas y astronomía con la propuesta de construcción de relojes de sol.

En las catorce ediciones celebradas muchas han sido las áreas del conocimiento tratadas. Y en cada ocasión se han sugerido actividades que muestran a alumnos de los diferentes niveles educativos cómo algunas de las matemáticas que aprenden son útiles para comprender mejor aspectos de estas disciplinas. Por ejemplo, seguimos con la astronomía y la tecnología para entender como los navegantes se orientan en el mar, hemos relacionado matemáticas y literatura en dos ocasiones con ocasión del estudio de clásicos como Alicia en el país de las maravillas y Los viajes de Gulliver y, en su cuarto centenario, el Quijote. Se han explorado las matemáticas de la química, la economía y la música. Se ha explorado la importante presencia de las matemáticas en las noticias de periodísticas, en la correcta gestión de los recursos hidricos y en el diseño de ciudades. Se ha explorado las matemáticas en relación con la educación para la paz, la tolerancia y los derechos humanos.

En mayo de 2014 se celebrará la decimoquinta edición del Día escolar de las matemáticas con el tema “Matemáticas y computación”. En estos momentos ya es una propuesta consolidada. La mayoría de las sociedades de la FESPM y muchos colegios e institutos organizan actividades alrededor de las matemáticas anualmente la semana del doce de mayo. La FESPM sigue haciendo una propuesta de actividades recogidas en un cuadernillo y divulgadas en su web. También algunas actividades complementarias. Por ejemplo, desde la séptima edición se realiza una conferencia en colaboración con la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid retransmitida por Internet. En esa edición, por ejemplo, Capi Corrales y Francisco Martín nos explicaron algunas relaciones entre Arte y Matemáticas. En la siguiente edición fue Federico Mayor Zaragoza quien nos habló de Matemáticas y educación para la paz. En la última edición Domingo Baeza, biólogo e ingeniero de formación, y experto en gestión de hidrológica, nos contó algunos de los problemas de una correcta gestión de cuencas hidrográficas, y de cómo las matemáticas son importantes en varias decisiones.

Matemáticas y computación

Según el diccionario de la R.A.E. el verbo computar en su primera acepción significa :(Del lat. computāre).1. tr. Contar o calcular por números algo, principalmente los años, tiempos y edades.Y la palabra cómputo según el mismo diccionario significa cuenta o cálculo.Por cierto que el único cómputo especial que resalta la RAE es el cómputo eclesiástico que es : 1. m. Conjunto de cálculos necesarios para determinar el día de la Pascua de Resurrección y demás fiestas movibles.

Desde este punto de vista las matemáticas, o al menos la logística y la aritmética, han ido de la mano desde sus más remotos orígenes hasta nuestros días. Si preguntamos a un ciudadano normal para qué sirven las matemáticas, la primera respuesta que obtendremos es esa : para calcular mediante números. En definitiva, para cuantificar la realidad.

La computación en su más primitiva acepción nace en el mismo momento en que el ser humano inventa o descubre un algoritmo para realizar los cálculos numéricos para satisfacer sus necesidades más inmediatas : las muescas agrupadas en los huesos, los nudos en una cuerda o una tira de piel, las rayas en las cuevas prehistóricas constituyen de hecho las primeras y más elementales herramientas computacionales. Por cierto, aún vigentes en la actualidad, para realizar un conteo extenso hacemos rayas y las agrupamos en paquetes de cinco.

Desde el nacimiento de los números todas las culturas, sin excepción, han desarrollado técnicas para “contar” o “hacer cuentas”, es decir para efectuar cálculos más o menos complejos utilizando los sistemas de numeración y las operaciones aritméticas a su alcance. Esas técnicas son los primeros algoritmos y por supuesto constituían secretos muy bien guardados en poder de una casta dominante : sabios, sacerdotes, brujos, matemáticos…

Los algoritmos de la multiplicación y la división mediante duplicación, los cálculos con fracciones de numerador unitario de los egipcios, el extraño sistema sexagesimal de numeración de los babilonios constituyen sin duda unas de las más elegantes aportaciones de la antigüedad a la historia de la computación, íntimamente ligada a la propia historia de los números.

Pero pronto el ingenio humano empieza a crear dispositivos materiales para hacer cuentas : los calculi griegos y romanos, las tablas de contar babilonias, los ábacos romanos y orientales, los contadores con cuerdas y nudos de los persas y de los incas, las planchas de polvo de los árabes… son las primeras, y por cierto originales, máquinas de computación. Y eso sin contar con los propios dedos de las manos y de los pies.

El invento de las cifras, es decir, de símbolos específicos para designar a los números desempeña el mismo papel que las letras del alfabeto para el lenguaje. De hecho van a constituir un lenguaje propio en las diferentes culturas : el lenguaje de los números. Un lenguaje críptico que necesita de especialistas para ser “descifrado”. Poder escribir el cálculo, efectuar directamente los cómputos con la escritura de los números es un salto trascendental en la historia de la Humanidad ; un salto que alcanzará su plenitud gracias a la numeración india de posición y al genial invento del cero.

De hecho el sistema de numeración ido-arábigo casi acaba con las incipientes máquinas de computación : los guijarros, las fichas dispuestas en columnas, los nudos de las cuerdas, las bolas de los ábacos…

Y nace el mágico “algoritmo”

Una tecnología computacional basada en el nuevo sistema de números. Y lo hace en el siglo IX de la mano de Muhammad ibn Musa al-Juwarizmi en su libro de título definitorio : Libro de la adición y de la sustracción según el cálculo de los indios. En el poema Carmen de Algorismo, de Alexandre de Villedieu, escrito hacia 1200, se da el pistoletazo de salida a una nueva manera de hacer cuentas, de computar : “… Se llama algoritmo al arte actual por el que utilizamos tales cifras indias en número de dos veces cinco”.

La batalla entre los algoristas y los abaquistas estaba decidida de antemano y la tecnología de cálculo de las piedras, las bolas y las fichas iba a ser arrinconada para siempre y durante muchos siglos por otra tecnología mucha más ágil, la de la plancha de arena o de polvo, o el propio suelo aplanado, precursora del pizarrín y que utilizaban como únicas piezas los propios nombres de los números. ¡Las calculadoras eran unos simples saquitos de harina o de polvo ! Diez símbolos, diez cifras y un poco de polvo para dominar el cálculo.

Del algoritmo al logaritmo. Las tablas de logaritmos han constituido durante siglos uno de los ingenios más eficaces para realizar cálculos penosos. Matemáticos, navegantes, físicos e ingenieros deben estar agradecidos a John Naiper y a Henry Briggs. Pero a Naiper le debemos una valiosa aportación al cálculo automático : sus famosos bastones o prismas. Y una obra muy poco divulgada, su Rabdologiae, pequeña obra en la que explica su uso y en la que brinda indicaciones precisas para la construcción y el uso de un prontuario. En el Museo Arqueológico Nacional de Madrid se conserva el único prontuario basado en la rabdología de Neper que se conserva en todo el mundo.1. Ábaco rabdológico de Naiper. Museo Arqueológico de Madrid

Las calculadoras mecánicas

Habrá que esperar unos pocos siglos para que algún matemático dedique su tiempo y sus esfuerzos a ingeniar una máquina que libere al ser humano de la tediosa tarea de calcular. El primero en intentarlo es Blaise Pascal allá por 1642. Pascal hijo diseña una máquina mecánica para ayudar a su padre en la contabilidad del gobierno de la ciudad de Rouen. En ella los dígitos del 0 al 9 estaban colocados sobre ruedas giratorias Las ruedas estaban diseñadas de modo que cuando una de ellos pasaba de 9 a 0, la siguiente en la secuencia giraba una unidad. Las operaciones se realizaban girando cada una de las ruedas un número de veces igual a los dígitos de los números a sumar. 2. Máquina de calcular de PascalLa máquina, la pascalina, solo permitía sumar, pero es sin duda la primera calculadora mecánica de la historia. Blaise Pascal llegó a fabricar unas cincuenta de estas máquinas.

Tan solo 30 años más tarde (1671) Leibniz presentará en París su máquina de calcular que permitía realizar multiplicaciones. 3. Máquina de calcular de LeibnizCuriosamente su máquina de calcular le proporcionó más popularidad en los salones de la corte francesa que sus primeros escarceos con el Cálculo. Por desgracia el proceso utilizado por la calculadora de Leibniz era lento y trabajoso.

En 1822, Thomas de Colmar, basándose en las ideas de Leibniz, creó una máquina portátil que también podía restar y dividir. Fue el prototipo de las máquinas de calcular comerciales y se fabricó hasta principios del siglo XX.

Pero fue Charles Babbage en 1833 quien puso los primeros cimientos de lo que un siglo más tarde sería la ciencia de la computación, al diseñar una máquina de calcular que funcionaba mediante un programa, el motor analítico. Fue la precursora de los computadores del siglo XX. Disponía de un dispositivo mecánico para hacer las operaciones, una memoria que podía almacenar números de hasta 50 dígitos y un dispositivo para introducir los datos y otro para imprimir los resultados. Ayudado por su esposa, Ada Lovelace, no llegó a ver su máquina en funcionamiento. El sueño de Babbage tuvo que esperar más de un siglo hasta la aparición, en 1944, del ASCC (Automatic Sequence Controlled Calculator), conocido mejor como Mark I. Fue construido en la Universidad de Harward, por Howard Aiken. Tenía 250.000 piezas y más de 800 km de cables. Tenía una entrada de datos mediante tarjetas perforadas, un dispositivo de cálculo, una memoria y un dispositivo de salida de datos. El sueño de Babbage pesaba más de 5 toneladas.

La ciencia de la computación

En el año 1938 Alan Turing presentó, en su artículo On Computable Numbers, lo que se llamaría la máquina de Turing, una máquina teórica en la que sería posible aplicar el concepto de algoritmo y que sería el referente fundamental de la computación. Turing ya había trabajado sobre la idea de una máquina abstracta –no real- una máquina teórica capaz de transformar con absoluta precisión operaciones previamente definidas en símbolos sobre una cinta de papel. En el trabajo Computing Machinery and Intelligence, aparecido en la revista Mind en el año 1950, expuso su pensamiento que supone una visión científica y filosófica en el origen de las grandes transformaciones que darán lugar a la idea de una sociedad tecnológica de la información, como el tiempo demostraría. Será la bandera de la Inteligencia Artificial. En esa época trabajó con Maxwell Newman, como encargado del software responsable del funcionamiento del ordenador, en la creación de los ordenadores Manchester Mark I y Mark2 que más tarde recibirían el nombre de MADAM (Manchester Automatic Digital Machina) que entraría en servicio en el verano de 1958. Eso le supuso participar en el proyecto que le acercaba a sus sueños : la construcción de una máquina inteligente o, lo que es lo mismo, de un ordenador

Pero unos años antes, en 1947 se había construido en la Universidad de Pennsylvania la ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Calculator) que fue la primera computadora electrónica. El equipo de diseño lo encabezaron los ingenieros John Mauchly y John Eckert. Esta máquina ocupaba todo un sótano de la Universidad, tenía más de 18.000 válvulas electrónicas, consumía 200 KW de energía eléctrica y requería todo un sistema de aire acondicionado,… Pero tenía la capacidad de realizar cinco mil operaciones aritméticas por segundo. Será el primero de los ordenadores de la denominada primera generación.4. ENIACEn 1950 la empresa Bell crea los primeros transistores que sustituirán a las válvulas y que darán origen a los ordenadores de segunda generación. Ocho años más tarde, en 1958, Texas Instruments fabrica el primer chip, el primer circuito integrado con semiconductores. Los chips sustituirán a los transistores dando origen a los ordenadores de tercera generación. En 1971 la empresa Intel fabrica el primer microprocesador que en un cm2 incorporaba el equivalente a 150.000 transistores. Nace la cuarta generación.

A partir de entonces y en tan solo 40 años hemos sido testigos de una auténtica explosión de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación que han revolucionado de forma irreversible no solo el acceso y el tratamiento de la información, sino también nuestros hábitos de vida y de consuma, nuestra forma de relacionarnos, nuestro ocio, nuestro trabajo… Y también la manera de “hacer matemáticas” y deberían haber cambiado también la forma de “enseñar y aprender matemáticas” en todos los niveles educativos.

Contenidos del día escolar 2014

Los contenidos del día escolar de las matemáticas están pensados para mostrar a los alumnos de educación secundaria la presencia de las matemáticas en las distintas facetas de la vida real. Al tratar de la vinculación de la computación con las matemáticas queremos destacar tres frentes diferenciados :- Desarrollo histórico en paralelo de los instrumentos de computación con las propias matemáticas.- Incidencia del desarrollo de la informática en el siglo XX en los procesos de investigación matemática y en sus aplicaciones- Programas y aplicaciones informáticas en la enseñanza de las matemáticas no universitarias.

En cada uno de estos ejes se crearán materiales en distintos soportes, pero fundamentalmente en formato TIC para facilitar al conjunto del profesorado de matemáticas de los distintos niveles recursos para llevar al aula y desarrollar actividades con los alumnos.

Los aspectos relacionados con la evolución histórica de los instrumentos y técnicas de computación tanto mecánicas como algorítmicas se generarán no solo materiales expositivos sobre su fundamento matemático, su desarrollo y su incidencia en las matemáticas sino también aplicaciones informáticas y simuladores para una comprensión más asequible a los alumnos del funcionamiento de algunos de estos instrumentos y algoritmos.

Computación e investigación matemática. Persiguiendo a π.

La explosión del desarrollo computacional en las décadas centrales del siglo XX encontró muy pronto aplicaciones en el campo puramente matemático. Una de las primeras es utilizar la potencia y rapidez en los cálculos de las nuevas computadoras para algo tan simple como el cálculo de π con un número cada vez más grande de decimales. El primer intento se produce en 1949 de la mano de John Wrench con el ENIAC. Tras más de 70 horas de cálculo ininterrumpido ENIAC proporcionó 2.037 decimales de π. En 1954 el IBM NORC proporcionó 3.092 decimales en tan solo 13 minutos de cálculo. Cinco años más tarde el IBM 704 descubriría en poco más de cuatro horas 16.167 decimales. En 1961 Shanks y Wrench consiguieron romper la barrera de los 100.000 decimales, obteniendo 100.265 decimales en tan solo 8 horas y 45 minutos. El millón de cifras se consiguió en 1973 con el CDC 7600 en poco más de 23 horas.Los hermanos Chudnovsky consiguieron los mil millones en 1989 con un ordenador IBM 3090. El billón de decimales lo alcanzó Yasumasa Kanada en las navidades de 2002 tras 25 días de cálculo con un ordenador HITACHI. Linux, un “simple” PC y 131 días de cálculo permitieron a Fabrice Bellard alcanzar los 2,7 billones de decimales.Los ordenadores en más de cincuenta años han prolongado la genial intuición de Srivinasa Ramanujan que permitió calcular 8 nuevos decimales por cada término con su famosa serie (1914)

Nuevas series de convergencia más rápida basadas en esta son las que han hecho posible esta alocada carrera sin fin tras los decimales de π.

Pero los ordenadores no sólo han revolucionado la capacidad de cálculo numérico, han incidido directamente en el propio concepto de demostración matemática. En 1976 un IBM 370-160 examinó durante más de 1000 horas 1.476 configuraciones diferentes para brindar a Appel y a Haken la demostración del Teorema de los cuatro colores. Sin el ordenador hubiese sido imposible la verificación de las configuraciones. La comunidad matemática dio por buena la comprobación realizada por el ordenador y la conjetura (4C) dejó de serlo para convertirse en teorema.5. Wolfgang HakenLam en 1989 demostró, con la inestimable ayuda de un ordenador CRAY que no existen planos proyectivos finitos de orden 10. El ordenador analizó las 1014 posibilidades que cubrían todos los posibles casos. Tarea imposible de realizar a mano.El ordenador deja de ser un juguete de cálculo para convertirse en una herramienta a veces imprescindible en el corazón de las matemáticas : la demostración. Con un no pequeño problema latente : estas demostraciones no son verificables por ningún matemático, se necesita otro ordenador. La inverificabilidad y el posible error de hardware o de software hace que muchos matemáticos rechacen el término demostración en estos casos y prefieran expresiones como resultado computado o similares.

De cualquier manera, la computación ha supuesto a lo largo de la segunda mitad del siglo XX y de lo que va del siglo XXI otra forma de hacer matemáticas y más si pensamos en las matemáticas aplicadas. Y en este terreno la hermandad entre matemáticas y computación abarca parcelas muy extensas : desde la Teoría de Grafos hasta la Geometría Computacional ; desde la Criptografía hasta el estudio de Sistemas Dinámicos y Geometría Fractal, pasando por el Álgebra y la Topología Computacionalhasta llegar a la Matemática discreta y la simulación numérica de fenómenos naturales y sociales.

Y este es el sentir, y los hechos, que hay que llevar a los alumnos que pueblan las aulas de secundaria. Y mucho mejor con ejemplos concretos y con las voces autorizadas de auténticos especialistas en cada uno de estos y otros campos.

Las TIC en la enseñanza de las matemáticas

La revolución tecnológica, las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC) han invadido todos los aspectos de nuestra vida : desde la industria, al consumo, al ocio o la comunicación nuestros hábitos han sufrido una transformación radical. Las TIC han impregnado todos los resquicios de nuestra actividad. ¿Todos ? No. Una pequeña aldea gala resiste todos los envites del imperio : es el mundo de la educación. Y ahora aún más. Sólo en un centro educativo no se paraliza la actividad si se cae Internet. De hecho muchos profesores y alumnos no se enterarían. Imagínense un apagón informático en un banco, en unos grandes almacenes, en una empresa de servicios o en una cadena de montaje…

Sólo el campesino, en su tractor, y el profesor de matemáticas en su aula permanecerían inalterables ante esta situación. Y es que, por desgracia, se sigue enseñando y se sigue aprendiendo matemáticas como hace 30 o 40 años, despreciando el potencial que los recursos informáticos nos brindan como instrumentos de aprendizaje. Si alguien no se lo cree puede hacer una prueba muy simple : compare un examen de matemáticas de las PAU del último curso con un examen de selectividad de hace 25 años. ¡Sorpresa ! Es prácticamente el mismo. ¡Alguien pontificará a lo sumo que ha bajado el nivel de los alumnos ! Nada de calculadoras gráficas, por supuesto prohibidos los ordenadores portátiles o las tabletas.

Muchos profesionales de la educación matemática estaban convencidos de que la revolución tecnológica iba a suponer grandes cambios de contenidos y de la forma de enseñar y de aprender matemáticas. Por desgracia, ni los cambios metodológicos, ni lo que es más grave los cambios de contenidos se han producido, o al menos no en la medida que la sociedad exige. Y eso a pesar de las menciones explícitas al uso de las TIC en todas leyes educativas desde la LOGSE.

Y sin embargo es evidente que el uso de las TIC en la clase de matemáticas hace posible cambiar de forma radical la forma de enseñar y la forma de aprender. De entrada nos permite introducir auténticas investigaciones matemáticas en el aula a desarrollar por los propios alumnos. Una simpe hoja de cálculo hace posible romper la infame espiral que tortura a los alumnos desde 5º de primaria hasta 1º de bachillerato “estudiando” año tras año, al menos durante tres meses cada curso con la secuencia : números naturales, números enteros, números racionales, números reales. Ocho años con la misma cantinela hasta conseguir desanimar al más entusiasta.

Un simple modelo con hoja de cálculo hace posible mostrar que hay vida detrás de tanta matemática muerta. Que se puede y se debe aprender matemáticas “haciendo matemáticas”.6. Hoja de cálculo. Número de KaprekarPor eso el tercer eje de la propuesta del día escolar de las matemáticas 2014 : el impacto de los recursos digitales en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas. Brindaremos a todos los profesores de matemáticas un amplio muestrario no solo de software educativo matemático sino sobre todo de aplicaciones concretas del uso de esos recursos en las aulas en los distintos niveles educativos : hojas de cálculo, programas de geometría dinámica como geogebra o descartes, calculadoras numéricas y algebraicas tipo wiris, programas específicos de análisis funcional o de estadística, simuladores de probabilidad… Son herramientas que las TIC ponen al alcance de profesores y de alumnos en ordenadores, pizarras digitales, tabletas y hasta teléfonos inteligentes. No usarlas es casi un delito.

Como muy bien decía Paul Lockhart en su famoso artículo Lamento de un matemático, publicado en esta misma revista (La Gaceta de la RSME 4. 2008).

« …Qué irónico que la gente descarte las matemáticas como la antítesis de la creatividad…Están desperdiciando una forma de arte más antigua que cualquier libro, más profunda que cualquier poema, y más abstracta que cualquier otra cosa. ¡Y es el colegio el que ha hecho esto ! Qué triste e interminable ciclo de profesores inocentes infligiendo daño a sus inocentes alumnos. ¡Con lo bien que nos lo podríamos estar pasando todos ! »

Nuevos recursos nuevos soportes para el día escolar

Los materiales que la FESPM brindaba al conjunto del profesorado de matemáticas para el desarrollo en los centros de las actividades relacionadas con el tema del día escolar consistían en :- Una conferencia impartida por un especialista en ese tema que se ha venido realizando en el aula Miguel de Guzmán de la facultad de matemáticas de la universidad complutense de Madrid y que se podía seguir en directo o en diferido a través de Internet.- Un cuaderno impreso con un desarrollo del tema y una propuesta de actividades para realizar en los centros.

Este curso, y ya que el contenido está relacionado con los recursos digitales y la computación ampliaremos la oferta con la realización de un portal de Internet que estará activo a partir de enero de 2014 en el que a través de distintos soportes : blogs, wiki, páginas web, aplicaciones digitales… se irán publicando artículos, informaciones, actividades, opiniones, aportaciones, críticas y propuestas de todos aquellos que quieran participar en un auténtico día escolar de las matemáticas que estreche de forma eficaz las matemáticas, su enseñanza y la computación. Un 12 de mayo que constituya una auténtica fiesta matemática en todos los centros educativos

Jordi Comellas.Secretaría de actividades con alumnos de la FESPM
saa@fespm.es

Antonio Pérez Sanz
Coordinador del Día escolar de las matemáticas 2014
aperez@rsme.es

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