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El Proyecto Gauss y el programa Escuela 2.0

Proyecto Gauss

José Luis Álvarez García

IES Nº5 de Avilés

El Proyecto Gauss y el programa Escuela 2.0.

El proyecto Gauss surge como iniciativa del Instituto de Tecnologías Educativas del Ministerio de Educación (ME), actualmente INTEF, en el marco del programa ESCUELA 2.0, un programa que comienza a desarrollar elministerioen el año 2009 con la participación de la mayoría de las comunidades autónomas españolas.

El programa se basaba en los siguientes ejes de intervención :

  • Dotar de infraestructura avanzada a las aulas, alumnado y profesorado
  • Desarrollo de estrategias de inclusión digital.
  • Conectividad. Internet en cada aula.
  • Fomentar el diseño, desarrollo, difusión y uso de recursosdidácticos digitales.
  • Formación de profesorado y de formadores.
  • Experimentación, evaluación y seguimiento de la implantación.
  • Crear redes sociales y difundir las buenas prácticas. Este programaes interrumpido en 2012como consecuencia del cambio de gobierno de España, sin completar siquiera su calendario de implantación, que era de 4 años, y sintener en cuentauna evaluación rigurosa de los resultados obtenidos. Esta decisión pone fin también al desarrollo del Proyecto Gauss que, en consecuencia, queda incompleto.

Matemáticas interactivas

La parte fundamental del Proyecto Gauss son los recursos didácticos,que constituyenun amplio repositorio de materiales, con los que se apuesta por una forma diferente y creativa de enseñar y aprender matemáticas, a través de actividades diseñadas para ser utilizadas tanto en la pizarra digital como en los ordenadores de los alumnos.La intención inicial es que estos recursos abarquen las etapas educativas incluidas en el Programa Escuela 2.0 (5º y 6º de Primaria y 1º y 2º de ESO), aunque posteriormente se extiende a los otros dos cursos de la ESO y albachillerato.

Todas las actividades tienen como base appletsconstruidoscon GeoGebra, en los quese presentan escenarios ricos en contenidos matemáticos, en los que se procura mantener el equilibrio entre interactividad y claridad. De este modo,permitenexplorarlos y conseguir buenos resultados en poco tiempo. Los profesores podemos dirigir, animar, ayudar y valorar, pero las actividades interactivas invitan a que sean los alumnos los auténticos protagonistas de su propio aprendizaje.

Así pues, la base del aprendizaje está en la observación de los efectos que producen las variaciones que hacemos en ciertos elementos del applet, en el análisis y la reflexión sobre lo que ocurre.

Materiales didácticos del Proyecto Gauss

Se puede acceder al Proyecto Gauss desde el portal de recursos del INTEF(recursostic.educacion.es/gauss/web) y también desde la web del Instituto GeoGebrade Cantabria(http://geogebra.es/gauss/index.htm).

Los materiales didácticos del Proyecto Gauss están organizados por niveles educativos (Primaria/ESO/Bachillerato) y, dentro de cada nivel, por bloques temáticos.

En Primaria las actividades se estructuran en torno a tres bloques : Aritmética, Geometría y Estadística y Probabilidad. A su vez, cada uno de los bloques de contenidos está dividido en varias secciones.

  • Aritmética : Naturales y enteros, Patrones, Decimales y fracciones, Cálculo mental.
  • Geometría : Acertijos, La necesidad de medir, Procedimientos, Ángulos, Polígonos, Escalas y planos, Figuras curvas, Simetrías, Cuerpos.
  • Estadística y Probabilidad : Recuento, Medidas, Estimación. Cada una de las actividades de Primaria enlaza con otra similar o de nivel ligeramente superior en la ESO, mediante un icono situado a la derecha del título. Estos enlaces ayudan a tratar la diversidad hacia un nivel superior (de Primaria a ESO) o inferior (de ESO a Primaria).

En la ESO las actividades están organizadas en cinco bloques : Aritmética, Geometría, Álgebra, Funciones y Estadística y Probabilidad. Cada uno de estos bloques, a su vez, se dividen en varias secciones.

  • Aritmética : Naturales y enteros, Patrones, Decimales y fracciones, Irracionales, Cálculo mental.
  • Álgebra : Pautas y fórmulas, Progresiones, Identidades notables, Ecuaciones y sistemas.
  • Funciones : Representaciones diversas, Características, Funciones concretas.
  • Geometría : Acertijos, La necesidad de medir, Procedimientos, Ángulos, Polígonos, Tales y Pitágoras, Escalas y planos, Figuras curvas, Simetrías, Teselados, Grupos de isometrías, Cuerpos, Trigonometría.
  • Estadística y Probabilidad : Recuento, Medidas, Estimación. Algunas de las actividades enlazan con otras de Primaria, como ya señalamos antes.

En bachillerato los bloques son Aritmética y Álgebra, Geometría, Funciones y Estadística y Probabilidad. Como en las otras etapas, cada uno de los bloques se subdivide en varias secciones.

  • Aritmética y Álgebra : Números y ecuaciones, Matrices y determinantes, Programación lineal, Economía y finanzas.
  • Geometría : Trigonometría, Geometría plana, Geometría espacial, Transformaciones.
  • Funciones : Familias y operaciones, Interpolación, Límites y continuidad, Derivadas e integrales.
  • Estadística y Probabilidad : Azar, Regresión, Distribuciones, Muestras. Al no haber concluido el proyecto, lamentablemente gran parte de estas secciones están vacías.

Características de las actividades

Cada una de las actividades contiene una construcción realizada con GeoGebra, una introducción, unas breves instrucciones de uso y, sobre todo, un cuestionario especialmente diseñado para que los alumnos manipulen la construcción para responderlo. Al tratarse de recursos abiertos, todo ello puede ser adaptado por el profesor a las necesidades y peculiaridades de sus alumnos.

Algunas actividades carecen de cuestionario debido a su naturaleza de actividad dereproducción o de actividad de autoevaluación.

Muchas actividades permiten enlazar con una versión de nivel ligeramente inferior o superior, o bien con otra distinta pero con la que está relacionada.

El nivel asociado a cada actividad es sólo orientativo respecto a los contenidos del currículo.

El espíritu del Proyecto Gauss es el de orientar las actividades a la adquisición y práctica de competencias matemáticas generales más que al adiestramiento en algoritmos particulares.

Un paseo por las actividades del ProyectoGauss(videoclip1)

Las actividades están pensadas para que los alumnos sean los protagonistas. Son ellos quienes tienen que explorar cada escenario para poder contestar a las preguntas. Se trata de descubrir cómo se debe cortar el cuadrado plegado para que al desplegar se obtenga la figura que se propone.

Es durante esa exploración cuando realmente practican las competencias matemáticas. Como buscar pautas, ensayar, empezar con casos sencillos, conjeturar, comprobar, ordenar, generalizar, relacionar, alejarse, acercarse, etc.

Los profesores disponemos así de más tiempo para la atención particular, mientras el grueso del grupo explora y tantea cada escenario.

Cada actividad ha sido diseñada para que, en lo posible, cualquier alumno pueda abordarla de forma autónoma, de modo que también las puederealizarfuera del aula.

Las actividades pretenden aproximarnos a los conceptos matemáticos mediante la observación de la respuesta de los objetos dinámicos interactivos a nuestras acciones. El comportamiento de los elementos del escenario al manipularlos retroalimenta la intención de nuestras acciones.Al mismo tiempo, el resultado de cada manipulación cuestiona la validez de nuestra interpretación mental de los conceptos.

Los escenarios(videoclip2)

Los escenarios delas actividades del Proyecto Gauss son muy versátiles.

  • Permitenexplorar objetos familiares y analizar situaciones cotidianas.
  • Podemos ver procedimientos paso a paso y usar herramientas nuevas o tradicionales.
  • Ayudana leer las gráficas y a interpretarlas.
  • En ocasiones se proponenautoevaluacionesde maneraaleatoria.
  • Podemos manejar artilugios del pasado y del presente.
  • Facilitan la visualización de los procesos de resolución deproblemas yla búsqueda del resultado óptimo.
  • Permitenjugar con las imágenes y con las expresiones.
  • Podemos colorear el plano según cualquier condición y hacer de la matemática un arte.
  • Podemos truncar dinámicamente poliedros o ver el poliedro que aparece al cortar un hipercubo.
  • Podemos variar las condiciones iniciales y ver las consecuencias de las variaciones o reconstruir el patrón a partir de su desarrollo.
  • Variar, observar, variar,observar... En definitiva, explorar.

Actividades para el Bachillerato(videoclip3,videoclip4,videoclip5)

Aunque la propuesta para el bachillerato está incompleta, encontraremos actividades que nos permiten :

  • Explorar la relación estadística entre dos variables,
  • Visualizar dinámicamente variaciones en una distribución de probabilidad,
  • Aproximarnos alosconceptosde número real ydelímite,
  • Relacionar geometría analítica y diseño por ordenador,
  • Explorar la geometría espacial,
  • Analizar y resolver problemas de programación lineal,
  • Visualizar el resultado de aplicar transformaciones geométricas,
  • Mostrar las variaciones gráficas correspondientes a las variaciones de un fenómeno,
  • Buscar la expresión algebraica correspondiente a una gráfica,
  • Variar localmente la gráfica según nuestros deseos,
  • Relacionar gráficas dinámicamente, punto a punto,
  • Visualizar teoremas fundamentales,
  • Proponer y analizar gráficas insólitas,
  • Comparar distintas gráficas del mismo fenómeno,
  • Explorar dinámicamente las soluciones óptimas ,
  • Visualizar la esencia de una demostración,
  • Relacionar cálculo computacional y análisis,
  • Explorar familias de funciones ydiferenciar distintos conceptos conectados.

Algunos ejemplos

A continuación comentaremos,a modo de ejemplo,algunas de las actividades del Proyecto Gauss :

  • Ángulos de un triángulo Ángulos de un triánguloes una actividad del bloque de Geometría, sección de Polígonos, de Educación Primaria. El objetivo que se pretende es descubrir la relación existente entre los ángulos de un triángulo, encontrar una justificación a dicha relación y, finalmente, utilizarla para resolver diferentes problemas.

En el applet se presentan tres escenas, que se pueden elegir mediante un deslizador vertical. Esta es una solución que hemos utilizado en muchos applet.

El cuestionario va guiando la actividad del alumno. Inicialmente se le propone que tome medidas de los ángulos del triángulo y que refleje los resultados que va obteniendo en una tabla. Las medidas las tomará utilizando un transportador virtual. Conforme va obteniendo los resultados, completa la tabla con la columna de la suma. Una vez medidos los ángulos de un triángulo se mueve alguno de sus vértices, de modo que se obtiene un triángulo distinto, y se repite el proceso. Al cabo de un tiempo, el profesor animará a comentar los resultados que se van obteniendo.

Ante el hecho de que siempre han obtenido el mismo resultado surge de forma natural la cuestión : ¿ocurre esto siempre ? ¿Por qué ?

En la segunda escena se proponen tres demostraciones visuales de la relación. La primera de ellas puede realizarse también mediante doblado de triángulos de papel o cartulina, para reforzar la comprensión.

Finalmente, en la tercera escena se proponen algunos ejercicios en los que se ha de hacer uso de la relación encontrada para obtener la solución.

Esta es una actividad que enlaza con otra con un nivel ligeramente superior en la ESO.

  • Números figurados Algunas de las actividades del proyecto Gauss pueden ocuparnos una clase, alguna de ellas podrían ocupar incluso menos tiempo. Sin embargo son muchas las que tienen una perspectiva bastante más amplia, pudiendo dedicar varias clases, dejando abiertas incluso diferentes vías de ampliación. Una de estas es la deNúmeros Figurados. La encontramos en el bloque de Álgebra de la ESO, en la sección de Pautas y Fórmulas.

Se trata básicamente de investigar relaciones entre los números figurados o poligonales. En la introducción tenemos una información complementaria a la que se accede a través del enlace del libro. Aquí se define lo que los griegos denominaban números triangulares, cuadrados, rectangulares u oblongos y pentagonales.

El applet permitirá generar los diferentes números poligonales, mostrando las tablas correspondientes.

El cuestionario va guiando la investigación del alumno sobre los números poligonales. Con ayuda del applet se completa la tabla. Primero con los números rectangulares. Se propone a continuación encontrar una fórmula que permita generar el rectangular de orden n.

A continuación se sigue el mismo proceso con los números triangulares. Se pide analizar las dos columnas de la tabla y extraer alguna conclusión. Con ayuda del applet se interpreta geométricamente dicha relación. A partir de ese descubrimiento se llega a la fórmula del número triangular de orden n.

Después es el momento de los números cuadrados. Se sigue un proceso similar para llegar a la expresión general y, sobre todo, encontrar la relación de los números cuadrados con los números triangulares.

Se sigue luego con los números pentagonales. A partir de la relación que se encuentra en la tabla entre los números pentagonales y otros tipos de números se llega a la expresión del término general.

Después se sigue con otros tipos de números...

Finalmente se llega a la expresión del número p-gonal de orden n, todo ello a partir de la expresión del número p-gonal como suma de números triangulares.

Y son muchas las vías de ampliación que podemos recorrer. Por ejemplo,

  • las relaciones que se encuentran entre los diferentes tipos de números a partir de la tabla,
  • las relaciones entre los distintos tipos de números, seccionando adecuadamente las representaciones simbólicas,
  • la demostración algebraica, manipulando las expresiones de los términos generales para las diferentes relaciones que se encuentran en la tabla,
  • el recorrido en horizontal en la tabla : expresión del término p en función del número de lados del polígono base ; aquí nos saldrán progresiones aritméticas, cuyas diferencias, a su vez, estarán relacionadas con números triangulares,
  • saltar al 3D y estudiar los números piramidales...
  • El tesoro del rombo Un buen número de actividades del proyecto Gauss son problemas. Hemos tratado de elegir problemas que representen un reto para los alumnos.

Un problema no es tal hasta que se quiere resolver. El uso de una herramienta como GG puede contribuir a aumentar la motivación para asumir ese reto.

Es tarea nuestra ayudar a los alumnos a aceptar los retos que les planteamos. Por eso es tan importante crear un ambiente de confianza en la clase que prepare a los alumnos a enfrentarse a situaciones no familiares y a no sentirse demasiado angustiados cuando se bloquean.

Proporcionar un marco en el que los alumnos puedan reflexionar sobre los procesos en que están inmersos y, de este modo, aprender de la experiencia : la mejor herramienta para resolver problemas es la propia experiencia. Es bueno, por tanto, hablar sobre los procesos seguidos, sobre las estrategias empleadas en la resolución de los problemas.

El problema que se propone enEl tesoro del romboes el siguiente :

En un desierto, un legendario aventurero, cansado y al borde de la muerte, ha enterrado un tesoro. En el plano que ha dejado, solamente está señalada una roca y un gran árbol. También ha anotado que la roca, el árbol y el punto donde está enterrado el tesoro son 3 vértices de un rombo. Del cuarto vértice solamente dejó escrito que está sobre la pista rectilínea cercana. ¿Dónde habría que cavar para encontrar el tesoro ?”

En el applet se muestra el plano, en el que aparecen representados la roca, el árbol y la pista rectilínea.

Para resolver el problema solamente es necesario conocer bien qué es un rombo y algunas de sus propiedades. Dada la situación de los datos iniciales, es posible encontrar más de una solución : habría nada menos que cinco. Y lo que nos dice la experiencia es que la mayoría de nuestros alumnos se detendrá tras la primera solución que encuentre. Y eso es lo que hace interesante al problema : indagar, investigar, encontrar todas las soluciones.

La aplicación nos permite hacer la comprobación de las soluciones. Pero llegados a este punto, el problema adquiere otra dimensión. En el applet podemos variar la posición del árbol y de la roca, es decir, podemos variar la disposición de los datos iniciales. De modo que, ¿qué pasaría si la posición relativa de la roca, el árbol y la pista fuera distinta ? ¿Seguiría habiendo 5 soluciones ? ¿Podría haber 4 ? ¿Puede haber alguna situación que solamente proporcionara una solución ? ¿Puede no tener soluciones ?

  • Función derivada La derivada de una función en un punto mide el ritmo de crecimiento de la función en dicho punto. Ese ritmo de crecimiento, también conocido como tasa de variación instantánea, tiene una interpretación geométrica : es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto considerado. Hay algunas actividades previas para introducir y afianzar esto.

Por tanto, si conocemos la recta tangente a la curva definida por una función, en un punto de la misma, podemos calcular la derivada de la función en dicho punto : será la pendiente de dicha recta, es decir, la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente con el eje OX.

Ahora bien, la pendiente de una recta, por otra parte, es fácil de calcular gráficamente : si el cateto horizontal AB del triángulo ABC mide 1, la medida del cateto vertical BC de dicho triángulo es igual a la tangente del ángulo (tg A = m/1 = m) y, por tanto, a la pendiente de la recta.

Utilizamos esta idea para introducir lafunción derivada : a cada valor de x le asignamos el valor de la derivada, y obtenemos un punto. La traza de dicho punto nos proporciona la silueta de la función derivada.

En la aplicación se puede cambiar la función f(x), de modo que se pueden conseguir dos objetivos : reconocer las funciones derivadas de algunas funciones elementales (lineales, cuadráticas, trigonométricas...), antes de estudiar ninguna técnica de derivación, y descubrir algunas propiedades de la derivación. Así, con ayuda del applet se puede descubrir que las funciones f(x) y f(x)+k tienen la misma función derivada.

  • Fichas sobre una cuadrícula Durante mucho tiempo, en los problemas probabilísticos escolares se ha puesto el énfasis casi exclusivamente en la cuantificación. Una consecuencia de ello es que la intuición de la mayoría de las personas ante los fenómenos relacionados con el azar en la vida cotidiana está más influenciada por sus propias experiencias personales, por los medios de comunicación o por creencias populares de lo más variopinto, que por los conocimientos que posee para enfocar la situación con mirada matemática.

Plantear como objetivo educar la intuición supone, entre otras cosas, analizar el comportamiento de los fenómenos aleatorios, observar las regularidades que se presentan al repetir un experimento y contrastar los resultados experimentales con los cálculos teóricos. En el Proyecto Gauss se ha tenido en cuenta todo esto en un buen número de actividades.

Enesta actividadse propone uno de los problemas clásicos de la probabilidad geométrica : cuando lanzamos una ficha sobre una cuadrícula, ¿cuál es la probabilidad de que toque alguna de las líneas de la misma ? Las tres escenas del applet permiten un acercamiento gradual a la solución del problema.

La primera escena permite explorar el problema : ¿es más probable que la ficha toque una de las líneas de la cuadrícula o que no toque ninguna ? ¿Cambian esas probabilidades cuando modificamos el diámetro de la ficha ? La observación de los resultados, a la que ayuda el semáforo (en rojo cuando la ficha tapa una línea y en verde cuando no lo hace), permite establecer las primeras conjeturas acerca de las preguntas que se plantean.

¿Qué ocurriría si realizáramos un gran número de lanzamientos ? La segunda escena nos permite aproximarnos a la respuesta. Manualmente o mediante la animación, podemos ver el resultado de hacer series de 200 lanzamientos cada una. También se muestra la proporción de fichas que tocan alguna de las líneas de la cuadrícula. Modificando el diámetro de la ficha podemos analizar cómo varía esa proporción y establecer las primeras conclusiones.

En la tercera escena se analiza la situación desde un punto de vista geométrico y se obtiene la solución del problema. El rastro que deja el centro de la ficha cuando la movemos sobre la cuadrícula nos proporcionará las pistas suficientes que nos permitirán llegar a la probabilidad que buscamos. La relación entre la superficie que sombreamos y el diámetro de la ficha nos llevará a la generalización del resultado obtenido.

Algo más que un repositorio de actividades

Los materiales descritos constituyen la parte fundamental del Proyecto Gauss, pero no la única : en su concepción inicial el Proyecto Gauss debería ser algo más que un repertorio de actividades. En consecuencia, el ITE puso en marcha un ambicioso plan de formación del profesorado en el uso de GeoGebra, que se concretó en varios cursos de formación a distancia, dirigidos tanto el profesorado de Educación Primaria como al de Educación Secundaria. El último de estos cursos estaba orientado a la experimentación en el aula y los materiales del Proyecto Gauss constituían unexcelente recurso para ello. Desde la web del Proyecto Gauss se enlazaban estos cursos de formación. Lamentablemente en las últimas convocatorias de formación del INTEF la oferta formativa ha variado considerablemente y ya no incluye los cursos de GeoGebra.

Otra de las opciones de la sección derecursos complementariosnos lleva a la página de descarga de GeoGebra, desde la que podremos e instalar el programa en nuestro equipo.

Además se ofrece lo que hemos denominadoconstrucciones sueltas. Se trata de applets de GeoGebra que han sido realizados por Daniel Mentrard y traducidos del francés por Bernat Ancoechea. También están organizados por etapas, que en este caso son Primaria y ESO. La principal diferencia con las actividades que veíamos antes es que ahora solamente contamos con el applet : no hay un texto introductorio ni tampoco un cuestionario que guíe la acción sobre el applet. En el caso de la Educación Primaria las actividades abarcan toda la etapa y no solamente a los últimos cursos. Algunas incluso podrían servir para la Educación Infantil.

Descarga y adaptación de los materiales del Proyecto Gauss

La conectividad en los centros educativos sigue siendo una asignatura pendiente en la mayoría de los centros educativos. Por ello, desde la web del Proyecto Gauss se ofrece la posibilidad de descargar los materiales para su uso en modo local. Una vez instalado en nuestro equipo, la estructura de las carpetas es muy intuitiva, separando las actividades y sus soluciones.

Los materiales del Proyecto Gauss son de uso libre, regulados por la licenciaCreative Commons (by-nc-sa)(Reconocimiento – NoComercial– CompartirIgual), que implica que no se permite un uso comercial de la obra original ni de las posibles obras derivadas, la distribución de las cuales se debe hacer con una licencia igual a la que regula la obra original. Ello significa que podemos usar las actividades, descargarlas, copiarlas, modificarlas, hacer lo que queramos, siempre que no sea con fines comerciales y reconozcamos el origen.

Esta adaptación de los materiales dependerá únicamente de nuestros conocimientos sobre el manejo de un editor web o de GeoGebra. Si deseamos cambiar algo en una construcción de GeoGebra basta abrirla en su carpeta. Podemos modificarla como queramos sin necesidad de convertirla de nuevo en applet, pues estos se actualizan automáticamente. También podemos editar la página web y, por ejemplo, realizar cambios en el cuestionario. Lo único que tenemos que respetar siempre son los nombres de los ficheros y la estructura de los directorios, dado que siempre se emplean referencias relativas.

Principios metodológicos

  • El planteamiento de las actividades responde a algunos principios metodológicos que los autores tenemos muy asumidos :
  • Actividad como principio : se aprende haciendo (el alumno como protagonista).
  • Realidad : matemáticas útiles y matemáticas que modelen.
  • Diferenciación de niveles :
    • Estrategias concretas ligadas a un contexto.
    • Ciertos aspectos se generalizan.
    • Conocimiento más formal y sintetizado.
  • Conectividad : conexión entre conceptos, combinación de procedimientos.
  • Comunicación : discusión de ideas (que suscita la reflexión) ; contenidos que atiendan a la diversidad (diferentes niveles de comprensión).
  • Orientación : objetivos a medio y largo plazo.

De estos principios se derivan algunas pautas metodológicas, como las siguientes :

  • Valorar el trabajo y las ideas delos alumnos y alumnas.
  • Impedir la declaración de soluciones en voz alta antes de dar tiempo al autodescubrimiento por parte de la gran mayoría.
  • Estimular la lectura comprensiva y la escritura de conclusiones.
  • Impulsar la autonomía de trabajo, la responsabilidad y la autoestima, admitiendo espacios de aprendizaje ricos en posibilidades de distintas observaciones, estrategias personales y métodos alternativos.

Conexiones(videoclip6)

Actividades como las del Proyecto Gauss pueden servir de medio conductor para un gran número de conexiones de muy diversa naturaleza : conexiones entre imágenes estáticas y dinámicas, entre imágenes físicas y mentales, entre matemáticas y realidad, entre distintas áreas de las matemáticas y entre estas y otras áreas del conocimiento, entre diferentes conceptos y representaciones, entre percepción y lógica, entre opinión y argumentación, entre orden y belleza...

Mientras los alumnos son los auténticos protagonistas de su aprendizaje, somos todos nosotros, los profesores, los únicos que podemos acercarles estos recursos e incorporar estos métodos al proceso de enseñanza, los únicos que podemos animarles a valorar su propio esfuerzo.

Referencias bibliográficas

ALVAREZ, J.L. y LOSADA, R. (2011) : “El Proyecto Gauss” en Revista SUMA, nº 68, pp.17-25.

ALVAREZ, J.L. yLOSADA,R. (2011) :“Los applets de funciones en el Proyecto Gauss” en Revista UNO, nº 58, pp 25-37.

ALVAREZ, J.L. y LOSADA, R. (2112) : “Estadística y Probabilidad en el Proyecto Gauss” en Revista UNO, nº 59, pp 26-39.

ALVAREZ, J.L. y LOSADA, R. (2012) : “La hoja de cálculo de GeoGebra” en Revista UNO, nº 61, pp. 55-66.

LOSADA, R (2007) : “GeoGebra : La eficiencia de la intuición” enGaceta de la RSMEvol. 10.2, pp. 223-239.