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Fichas sobre una cuadrícula

Durante mucho tiempo, en los problemas probabilísticos escolares se ha puesto el énfasis casi exclusivamente en la cuantificación. Una consecuencia de ello es que la intuición de la mayoría de las personas ante los fenómenos relacionados con el azar en la vida cotidiana está más influenciada por sus propias experiencias personales, por los medios de comunicación o por creencias populares de lo más variopinto, que por los conocimientos que posee para enfocar la situación con mirada matemática.

Plantear como objetivo educar la intuición supone, entre otras cosas, analizar el comportamiento de los fenómenos aleatorios, observar las regularidades que se presentan al repetir un experimento y contrastar los resultados experimentales con los cálculos teóricos. En el Proyecto Gauss se ha tenido en cuenta todo esto en un buen número de actividades.

En esta actividad se propone uno de los problemas clásicos de la probabilidad geométrica : cuando lanzamos una ficha sobre una cuadrícula, ¿cuál es la probabilidad de que toque alguna de las líneas de la misma ? Las tres escenas del applet permiten un acercamiento gradual a la solución del problema.

La primera escena permite explorar el problema : ¿es más probable que la ficha toque una de las líneas de la cuadrícula o que no toque ninguna ? ¿Cambian esas probabilidades cuando modificamos el diámetro de la ficha ? La observación de los resultados, a la que ayuda el semáforo (en rojo cuando la ficha tapa una línea y en verde cuando no lo hace), permite establecer las primeras conjeturas acerca de las preguntas que se plantean.

¿Qué ocurriría si realizáramos un gran número de lanzamientos ? La segunda escena nos permite aproximarnos a la respuesta. Manualmente o mediante la animación, podemos ver el resultado de hacer series de 200 lanzamientos cada una. También se muestra la proporción de fichas que tocan alguna de las líneas de la cuadrícula. Modificando el diámetro de la ficha podemos analizar cómo varía esa proporción y establecer las primeras conclusiones.

En la tercera escena se analiza la situación desde un punto de vista geométrico y se obtiene la solución del problema. El rastro que deja el centro de la ficha cuando la movemos sobre la cuadrícula nos proporcionará las pistas suficientes que nos permitirán llegar a la probabilidad que buscamos. La relación entre la superficie que sombreamos y el diámetro de la ficha nos llevará a la generalización del resultado obtenido.

José Luis Alvárez