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Geometría Dinámica en Matemáticas (jmora7)

Geometría Dinámica en Matemáticas (jmora7)

La web Geometría Dinámica en Matemáticas se ha construido a lo largo de los últimos 20 años. Algunas secciones tienen un origen anterior, en los trabajos que realicé como asesor de matemáticas en el Equipo de Reforma de la Enseñanza de la Comunidad Valenciana (1985-88) y en el Centro de Profesores de Alicante (1990-95) ; una época en la que tuve la oportunidad de trabajar en la formación del profesorado. En la mayoría de los casos intentan reflejar las experiencias de clase con los alumnos y, posteriormente, los debates surgidos con colegas profesores de matemáticas.

Matemáquinas. Las matemáticas de la tecnología.

En 1995 las versiones del software de Geometría Dinámica permitieron aportar movimiento a las imágenes de los mecanismos que Brian Bolt (1992) disecciona, compara, analiza y organiza atendiendo a la geometría que hay en ellos en su libro Matemáquinas, las Matemáticas que hay en la Tecnología.

Con las construcciones realizadas se simula el funcionamiento de objetos cotidianos : el gato elevador, el funcionamiento del motor de la máquina de vapor, el mecanismo de brazo oscilatorio o el cilindro hidráulico ; así han servido de base para estudiar distintas formas de construir el triángulo que tiene un lado de longitud variable, y aplicarlo a nuevas situaciones, como la puerta levadiza de los garajes, la aguja en la máquina de coser, la limadora o la excavadora.

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La estructura de esta sección es la proporcionada por Bolt en su libro : para cada polígono, se analizan las relaciones geométricas utilizadas en el diseño y se traducen en su construcción con Geometría Dinámica (Cabri Géomètre II y GeoGebra).

En tecnología lo importante es analizar las relaciones entre el elemento impulsor y el seguidor, en física cómo se transforma un movimiento en otro y en matemáticas los mecanismos son el contexto para estudiar las relaciones en las figuras geométricas. Pero la conjunción de esas visiones son las que nos permiten comprender cómo funcionan las cosas.

En esta sección colaboraron con sus ideas y revisiones Francisco Jesús García, Bartolomé Sintes e Ignacio Baeza. Mucho después, Matemáquinas recibió un premio en 2009 al Desarrollo de Recursos Educativos Digitales por la Consellería de Educación de la C. o8iuValenciana.

Poliedros regulares y la Geometría clásica. El Omnipoliedro del Tossal de Alicante.

Dentro de los actos conmemorativos del 2000 como año Mundial de las Matemáticas, la SEMCV Al-Khwarizmi, el IES Leonardo da Vinci y el Ayuntamiento de Alicante se unieron para construir un Omnipoliedro como instalación permanente en el Parque Tossal de Alicante. Paralelamente diseñamos una actividad educativa con la colaboración de la Concejalía de Educación en la que grupos de estudiantes de Secundaria podían realizar el montaje del omnipoliedro con la ayuda de monitores formados por la SEMCV. El tamaño de la construcción se hizo con dimensiones “humanas” ; las barras del cubo y el icosaedro medían 1.67 : el promedio de la población española

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Las actividades de construcción con alumnos tuvieron una duración de 6 años, la estructura de barras resistió un par de años más hasta que el viento la dejó en un estado irrecuperable (solo la base sigue allí) y la guía didáctica en papel se agotó. Pero hay algunos elementos que hemos podido conservar : los poliedros construidos para los huecos en las escaleras de los IES Leonardo da Vinci y San Blas, se han mantenido con el paso del tiempo y también la guía en formato web. En Internet podemos manipular los poliedros regulares, estudiar sus relaciones y seguir el proceso de construcción que se realizó en los talleres de chapa y pintura del IES Leonardo da Vinci. Desde entonces han sido varios los centros que han utilizado la web para hacer su propia construcción con barras de aluminio.

La interactividad de las construcciones geométricas se consiguió con los applets interactivos de los poliedros a partir de los trabajos de Fernando Juan. Se completó con la posibilidad de manipulación física por los alumnos y se unió a otros proyectos como un recorrido por las esculturas geométricas de la ciudad de Alicante y una Ruta Matemática escolar diseñada por Salvador Caballero.

Investigaciones en la clase de matemáticas. La mitad del cuadrado

Es el título de una investigación de clase publicada en dos artículos : el primero en SUMA (1991) y 16 años después, a petición de Antonio Pérez, en La Gaceta de la RSME (2007). Hace unos días (marzo de 2014) entró un grupo de 4º de ESO a una clase en la que había dibujos de ensayos con mitades del cuadrado de otro grupo de 1º de ESO que acababa de salir del aula. Me resultó curiosa la escena : miraron hacia la pizarra y a la proyección de la pantalla del ordenador con un gesto de cariño, incluso se les escapó algún comentario del tipo : qué tiempos aquellos, al recordar su trabajo tres años atrás y la paliza que les di con la investigación del medio cuadrado.

El trabajo dura aproximadamente un mes de clases y comienza con el siguiente enunciado :

Dado un cuadrado, una forma de construir, dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad, consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento. Investiga otros procedimientos.

Desde que en 1986 encontré este enunciado del problema en un artículo de Juan Antonio García Cruz, siempre he dedicado un período de clases en alguno de los grupos de ESO para realizar la investigación, estamos aproximadamente un mes de clase (y el consiguiente tiempo en casa) profundizando en las ideas de la Geometría : sus conceptos y sus métodos. A finales de los años 80 lo hacíamos con lápiz y papel cuadriculado y poco a poco se fue incorporando el software matemático hasta llegar a GeoGebra.

En el trabajo de los alumnos aparecen ideas de geometría básica, las isometrías, el área de los polígonos (se realiza estimación, medida y cálculo), se consolidan destrezas algebraicas en la obtención de fórmulas y en la manipulación de variables en las fórmulas para el cálculo de áreas.

También realizan otras actividades matemáticas menos ligadas a un contenido concreto : por una parte la descripción verbal de las ideas, que en matemáticas va asociada a la precisión y a la concisión. Por otra, a procedimientos que podemos considerar altamente matemáticos como generalizar, conjeturar, probar o demostrar. Los argumentos que utilizan en estas tareas son tanto de tipo geométrico (mover, girar) como algebraico (simplificar, despejar), depende del nivel de los alumnos y del curso que se proponga.

Didácticamente es un problema interesante porque permite proponer distintos tipos de organización de la clase : individual, en grupo, puestas en común y también da pistas al profesor sobre cuándo y cómo debe intervenir para que los alumnos consigan aprender y avanzar en el trabajo propuesto de forma autónoma.

La Geometría Dinámica cumple un importante papel en estas investigaciones, especialmente el paso de los diseños fijos a otros con movimiento : de una solución estática en lápiz y papel pasamos a otra dinámica con GeoGebra cuando tomamos un punto que se puede mover en ciertas condiciones y un procedimiento da lugar a otros parecidos o distintos :

Pero aún hay más, los alumnos aprenden a aplicar los conocimientos adquiridos y las producciones realizadas para crear diseños de gran belleza y comprenden cómo algunas culturas han utilizado diseños muy parecidos a los suyos para decorar sus edificios y construcciones con las herramientas disponibles en ese momento.

Azulejos con GeoGebra en el Museo de Onda.

Las soluciones de la mitad del cuadrado dan lugar a diseños de azulejos, que ya fueron investigados por los geómetras nazaríes en la Alhambra, los encontramos varios siglos después en la colección del Museu del Taulell y ahora son rediseñados por nuestros alumnos de Secundaria :

Utilizamos los diseños que aparecieron en las clases para obtener mosaicos que fuimos a pintar en el taller del Museo de Onda con la colaboración del coordinador didáctico Marc Ribera y la ceramista Joana Segura.

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Los azulejos que pintamos quedaron en el Museo para la cocción y nos los enviaron al instituto para decorar la entrada.

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Para el trabajo del museo de Onda contamos con la colaboración de varios profesores del IES San Blas. Esta web recibió el primer premio de los Institutos GeoGebra a las Experiencias de Aula en 2010.

Geometría Dinámica para el análisis de obras de arte. Pintura.

Tuvimos que esperar varios años para que el software de Geometría Dinámica permitiera colocar imágenes en la pantalla y después superponer elementos geométricos para analizar geométricamente las figuras. Esto posibilitó estudiar un cuadro mediante el proceso inverso al realizado por el artista : él reunió, organizó y distribuyó los elementos, las formas y los colores para componer la obra, ahora nosotros seguimos el proceso contrario, diseccionamos su obra en la búsqueda de la idea inicial del artista.

El procedimiento seguido para mostrar los elementos geométricos se plantea como una secuencia de varios pasos que desvela progresivamente la estructura de la obra, en cada uno de ellos se muestran nuevas líneas y figuras.

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Cada salto de la imagen hace aparecer nuevos elementos para desvelar una posible idea geométrica del pintor. Después de este estudio los alumnos ya no verán la obra de la misma forma en que lo hacían antes, cada nuevo conocimiento que adquieren sobre el cuadro hace que cambie su relación con él : el muro de la izquierda que antes podía pasar más desapercibido, ahora se hace más patente, la rama de la derecha ya no está puesta al azar, su presencia cumple un objetivo, el de equilibrar las zonas superior derecha e izquierda del cuadro y las formas triangulares llevan nuestra mirada hacia los personajes.

Los estudios realizados abarcan varios temas : la composición geométrica de la obra, las proporciones, el rectángulo áureo o el análisis de la perspectiva. Este trabajo se publicó en el número 9 de la revista digital Unión (2007) coordinada por Agustín Carrillo.

Los misterios de las Meninas. GeoGebra en dos y tres dimensiones

Presenta el trabajo realizado por los departamentos didácticos del IES San Blas durante el curso 2007-8 en el que nos propusimos desvelar los misterios que se esconden detrás del cuadro. Como elemento motivador se eligió la lectura de un ensayo de Eliacer Cansino El misterio Velázquez que organiza una trama mágico-detectivesca con el pretexto de averiguar quién pintó la Cruz de Santiago, que luce el pintor en el pecho, en el cuadro de Las Meninas.

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El trabajo de investigación matemática fue realizado por un grupo de 3º de ESO en Estructuras Espaciales, una asignatura optativa relacionada con nuestra materia. En él nos pusimos a investigar las formas en el cuadro : aparecieron triángulos y círculos en la distribución del color y la colocación de los personajes. Colocamos a los protagonistas en un plano a escala de la estancia. Nos preguntamos cuál es el argumento de la escena que se intenta retratar intentando desentrañar el cruce de miradas y las posibles intenciones, analizamos el juego de perspectivas y nos preguntamos por qué otros genios de la pintura (Goya, Picaso, Dalí y muchos otros) estudiaron tan en profundidad este cuadro.

Paralelamente al desarrollo de las clases, Rafael Losada estuvo investigando un sistema de proyecciones con GeoGebra que permitió entrar a estudiar en profundidad detalles matemáticos que nos parecieron relevantes como la perspectiva geométrica, la dirección de la luz en la estancia retratada o la posición ideal del espectador para contemplar el cuadro. De todos ellos, el principal reto lo supuso el intentar localizar la posición de los reyes que se reflejan en el espejo que hay colgado al fondo de la sala. Analizamos varias alternativas como la utilización de espejos o una cámara oscura. Fue un trabajo apasionante tanto para los alumnos de 3º que lo expusieron a sus compañeros de bachillerato y también para los profesores al comprobar las aplicaciones de las matemáticas en el estudio.

Planteamiento de problemas geométricos. Arcos con GeoGebra.

Arcos fue uno de los primeros trabajos conjuntos del grupo G4D (José M. Arranz, Rafael Losada, José A. Mora y Manuel Sada), a partir de unos estudios iniciales de José Manuel Arranz sobre los arcos en Arquitectura, planteamos una propuesta didáctica para clase de matemáticas consistente en diseñar diez de los arcos utilizados en arquitectura. Para cada uno de ellos se disfrazaron las instrucciones de construcción con una guía en forma de secuencia visual animada que se parece en cierto modo a las utilizadas en las construcciones de Lego : partiendo de las piezas iniciales, unas pocas ideas visuales nos acercan al resultado final.

Los applets se realizaron de forma que la presentación animada se despliega a la izquierda de la pantalla y se dispone de espacio a la derecha para que el estudiante pueda realizar su propia construcción a la derecha con las herramientas de GeoGebra.

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El trabajo apareció en dos números de la revista digital Matematicalia (2008) e incluye una propuesta de trabajo comentada para la clase y las soluciones aportadas por dos grupos de alumnos de secundaria, uno de ellos en el IES San Blas de Alicante y el otro formado por los participantes el en proyecto Estalmat de la Comunidad Valenciana.

La Simetría. Celosías y Mosaicos en Educación Secundaria

La Simetría obtuvo un premio a los materiales educativos del Instituto de Tecnologías Educativas en 2009. Pretende organizar una propuesta interactiva completa para el estudio de los movimientos en el plano en Secundaria.

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Comienza con applets que muestran la presencia de cada uno de los movimientos en la naturaleza, el arte y la vida cotidiana a partir de fotografías de Pilar Moreno (ver sus colaboraciones en Divulgamat) para encaminar el trabajo hacia el análisis de mosaicos. La segunda sección dedicada a las celosías toma como eje central la simetría de los azulejos del Museu del Taulell de Onda. Continúa con el estudio de los 17 grupos cristalográficos en los que se hace un doble trabajo : primero se parte de un mosaico real, se analizan sus simetrías hasta llegar a la baldosa mínima generadora y se utilizan las isometrías para generar el mosaico. Aún se muestra una segunda vía de trabajo en la que se toma simplemente una baldosa mínima con un diseño en su interior con algunos elementos móviles y se construye el mosaico con las instrucciones de movimiento de ese grupo. Después podemos modificar la baldosa y el mosaico se transforma con ella manteniendo los elementos de simetría con los que fue creado.

Se han incluido algunas conexiones con cursos posteriores en las que se estudia la composición de movimientos y la relación de las isometrías con la geometría de coordenadas. Y también secciones dirigidas al profesorado en la que se exponen las ideas básicas que han llevado al diseño de estos applets.

Además de la Geometría, las funciones… pero con color y mucho arte (óptico).

Para componer esta propuesta he recogido ideas de color dinámico de José Luis Muñoz y las rectas al azar de Pep Bujosa.

Se construyen rectas y curvas dependientes de parámetros -que en GeoGebra se convierten en deslizadores-, y se hace que estas funciones dejen el rastro de color a su paso. Para terminar de liarlo, el mismo color de la función se descompone en mezclas de rojo, azul y verde con funciones que dependen de los parámetros establecidos. Los cambios progresivos de posición y de color provocan la sensación de movimiento y las formas generan ciertos patrones que nuestra mente es capaz de captar para darles cierto sentido, algo parecido a lo que ocurre en el arte óptico. Aquí vemos algunos ejemplos con rectas :

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Todo lo que se hace con rectas, se puede intentar con otras familias de funciones con el applet Curvas de colores utilizando los parámetros adecuados : parábolas, hipérbolas, función logística y trigonométricas se pueden tratar de la misma manera para obtener nuevas formas :

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Otras secciones en jmora7

Algunos materiales para la clase de matemáticas con aportaciones de profesores como Juan Vicente Sánchez Gaitero.

El coche que sale por la tangente fue el primer trabajo conjunto con Rafael Losada y Manuel Sada. Se hizo como homenaje a Franci Puerta en las XIII JAEM de Granada (2006). Para diseñarlo tomamos la idea de una vagoneta en una montaña rusa que salía despedida por la tangente, Franci la había utilizado para introducir el concepto de derivada en una ponencia para las IX JAEM de Lugo (1999).

La sección Matemáticas y NNTT con las colaboraciones para esa sección de la revista UNO desde el número 51 al 64 en las que he intentado reflexionar sobre algunos temas de la enseñanza y aprendizaje a la vez que exponía mis descubrimientos en la red. Aquí se exponen en formato de página web con los enlaces. Agradezco las facilidades que ha dado la Editorial Graó.

La sección Matemáticas y Calculadoras gráficas contiene propuestas de trabajo para bachillerato realizadas para varios modelos de Texas Instruments y Casio diseñadas por el equipo Tcubo (Salvador Caballero, Floreal Gracia, Fernando Juan, Alfred Mollà, Onofre Monzó, Jose A. Mora, Pascual Pérez, Tomás Queralt y Julio Rodrigo y las colaboraciones de Maurici Contreras)

Las experiencias descritas en esta web me han dado la oportunidad de compartir vivencias con un amplio grupo de compañeros, todos ellos grandes matemáticos y profesores que me han ayudado a entender cómo aprenden las matemáticas nuestros alumnos. Pero hay una persona que ha sido clave en muchos de los applets construidos, es Maite Gómez Arnau, con la que he compartido una forma de acercarnos al arte y también a la enseñanza.