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Números figurados

Algunas de las actividades del proyecto Gauss pueden ocuparnos una clase, alguna de ellas podrían ocupar incluso menos tiempo. Sin embargo son muchas las que tienen una perspectiva bastante más amplia, pudiendo dedicar varias clases, dejando abiertas incluso diferentes vías de ampliación. Una de estas es la de Números Figurados. La encontramos en el bloque de Álgebra de la ESO, en la sección de Pautas y Fórmulas.

Se trata básicamente de investigar relaciones entre los números figurados o poligonales. En la introducción tenemos una información complementaria a la que se accede a través del enlace del libro. Aquí se define lo que los griegos denominaban números triangulares, cuadrados, rectangulares u oblongos y pentagonales.

El applet permitirá generar los diferentes números poligonales, mostrando las tablas correspondientes.

El cuestionario va guiando la investigación del alumno sobre los números poligonales. Con ayuda del applet se completa la tabla. Primero con los números rectangulares. Se propone a continuación encontrar una fórmula que permita generar el rectangular de orden n.

A continuación se sigue el mismo proceso con los números triangulares. Se pide analizar las dos columnas de la tabla y extraer alguna conclusión. Con ayuda del applet se interpreta geométricamente dicha relación. A partir de ese descubrimiento se llega a la fórmula del número triangular de orden n.

Después es el momento de los números cuadrados. Se sigue un proceso similar para llegar a la expresión general y, sobre todo, encontrar la relación de los números cuadrados con los números triangulares.

Se sigue luego con los números pentagonales. A partir de la relación que se encuentra en la tabla entre los números pentagonales y otros tipos de números se llega a la expresión del término general.

Después se sigue con otros tipos de números...

Finalmente se llega a la expresión del número p-gonal de orden n, todo ello a partir de la expresión del número p-gonal como suma de números triangulares.

Y son muchas las vías de ampliación que podemos recorrer. Por ejemplo,

  • las relaciones que se encuentran entre los diferentes tipos de números a partir de la tabla,
  • las relaciones entre los distintos tipos de números, seccionando adecuadamente las representaciones simbólicas,
  • la demostración algebraica, manipulando las expresiones de los términos generales para las diferentes relaciones que se encuentran en la tabla,
  • el recorrido en horizontal en la tabla : expresión del término p en función del número de lados del polígono base ; aquí nos saldrán progresiones aritméticas, cuyas diferencias, a su vez, estarán relacionadas con números triangulares,
  • saltar al 3D y estudiar los números piramidales...

José Luis Alvárez